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京大(05前理) １ xy 平面上の原点と (1,2) を結ぶ線分(両端を含むん)を L とする。 曲線 y = x2 + ax + b が L と共有点を持つような実数の組 (a,b) の集合を ab 平面上に図示せよ。 ２ 210 < (5/4)n < 220 を満たす自然数は 何個あるか ただし 0.301 < log102 < 0.3011 である。 ３ α、β, γ は異なる複素数で α + β + γ = α2 + β2 + γ2 = 0 を満たすとする。このとき α、β, γ の表す複素平面上の３点を 結んで得られる三角形は どのような三角形か。(ただし、複素平面を複素数平面ともいう) ４ a3 - b3 = 217 を満たす整数の組 (a,b) をすべて求めよ。 ５ k を正の整数とし、2kπ ≤ x ≤ (2k+1)π の範囲で定義された２曲線 C1 : y = cos x, C1 : y = (1-x2)/(1+x2) を考える。 (1) C1 と C2 が共有点をもち、その点における C1 の 接線は点 (0,1) を通ることを示せ。 (2) C1 と C2 の共有点はただ1つであることを示せ。 ６ 先頭車両から順に 1 から n までの番号のついた n 両編成の列車がある。 ただし n ≥ 2 とする。 各車両を赤青黄の何れかの一色で塗るとき、 隣り合った車両の 少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか
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