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解答 g(x) = (1-x2)/(1+x2) とおく。 1 < x のとき 1 + g(x) = 1 + (1-x2)/(1+x2) = 2/(1+x2) で 2 < 1+x2 なので 0 < 1 + g(x) < 1 よって -1 < g(x) < 0 である。 f(x) = cos x - (1-x2)/(1+x2) = cos x - g(x) と定める。 1 < 2kπ, 1 < (2k+1)π なので f(2kπ) = 1 - f(2kπ) > 0 f((2k+1)π) = -1 - f(2kπ) < 0 従って C1 と C2 が共有点をもつ。 |
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交点の一つを P(α, β) とおく。 β = cos α = (1 - α2)/(1 + α2) である .... @ 2kπ ≤ α ≤ (2k+1)π より 0 < sin α で 0 < α である。 sin2 α 1 - cos2 α = 4α2)/(1 + α2)2 なので sin α = 2 α/(1 + α2) である。 .... A P での C1 の接線の方程式は y = - sin α(x - &alpha) + β である。 その接線と y 軸との交点の y 座標は &alpha: sin α + β である。 @、Aより &alpha: sin α + β = 1 である。 以上より (1) が示せた。 |
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C1 と C2 の交点を (γ cos γ) とおくと cos γ = g(γ) < 0 である。 従って (2k+1/2)π < γ < (2k+1)π である。 C1 上の点 (γ cos γ) における C1 の 接線が (0, 1) を通るので 1 = γ sin γ + cos γ が成り立つ。 h(x) = x sin x + cos x とおくと h'(x) = sin x - x cos x - sin x = x cos x となる。 (2k+1/2)π < x < (2k+1)π の範囲では h'(x) < 0 つまり この範囲では h(x) は単調減少である。 この範囲での h(x) = 1 の解はあってもただ一つ。 以上の議論より C1 と C2 の交点が 唯一つしかないことが分かる |