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解答 P(x) を Q(x) で割った商を S(x), 余りを R(x) とおく。 このとき S(x), R(x) は整式で R(x) は一次以下で P(x) = Q(x)S(x) + R(x) が成り立っている。 Q(x) が二次式、 P(x) は Q(x) で割り切れないので R(x) は 0 ではない。 このとき {P(x)}2 = Q(x){Q(x){S(x)}2 + 2S(x)R(x)} + {R(x)}2 であり, {S(x)}2 + 2S(x)R(x)} は整式, {R(x)}2 は 0 でない２次以下の整式である。 |
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{P(x)}2 が Q(x) で割り切れることから {R(x)}2 が Q(x) で割り切れることがわかる。 {R(x)}2 が 0 でない２次以下の整式、Q(x) が２次式なので {R(x)}2 は２次式(つまり R(x) は一次式)であり 0 でない定数 c で Q(x) = c{R(x)}2 となるものが存在する。 従って、二次方程式 Q(x) = 0 は 一次方程式 R(x) = 0 の解を重解にもつ |