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京大(06前理) １ Q(x) を２次式とする。整式 P(x) は Q(x) で割り切れないが {P(x)}2は Q(x) で割り切れるという。 このとき二次方程式 Q(x) = 0 は重解を持つことを示せ。 ２ 点 O を原点とする座標空間３点を A(0,1,2), B(2,3,0), P(5+t,9+2t,5+3t) とする。 線分 OP と線分 AB が交点をもつような実数 t が存在することを示せ。 またそのとき、交点の座標を求めよ。 ３ 関数 y = f(x) のグラフは、座標平面で原点に対して点対称である。 さらにこのグラフの x ≤ 0 の部分は、軸が y 軸に平行で、 点 (-1/2,1/4) を頂点とし原点を通る放物線と一致している。 このとき、x = -1 におけるこの関数のグラフの接線と この関数のグラフによって囲まれる図形の面積をもとめよ。 ４ ２ 以上の自然数 n に対し、n と n2 + 2 がともに素数となるのは、 ｎ = 3 の場合に限ることを示せ。 ５ 僊BC に対し、辺 AB 上に点 P を、辺 BC 上に点 Q を、辺 CA 上に点 R を、 頂点とは異なるように取る。この３点がそれぞれの辺上を動くとき、 この３点を頂点とする三角形の重心は どのような範囲を動くか図示せよ。 ６ 0 < α < π/2 として、関数 F を F(θ) = ∫0θ x cos(x+α) dx で定める。θ が [0,π/2] の範囲を動くとき、F の最大値を求めよ。
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