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解答 n を n と n2 + 2 がともに素数 となる 2 以上の自然数とする。 もし n を 3 で割ったら 1 余ったとすると n = 3m + 1 満たす整数 m がある。 このとき n2 + 2 = 3(3m2 + 2m + 1) で 3m2 + 2m + 1 が整数なので n2 + 2 は 3 の倍数となる。 n2 + 2 は素数なので n2 + 2 = 3 となる。 これは 2 ≤ n に矛盾する。 |
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もし n を 3 で割ったら 2 余ったとすると n = 3m + 2 満たす整数 m がある。 このとき n2 + 2 = 3(3m2 + 4m + 2) で 3m2 + 4m + 2 が整数なので n2 + 2 は 3 の倍数となる。 n2 + 2 は素数なので n2 + 2 = 3 となる。 これは 2 ≤ n に矛盾する。 |
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以上より n は 3 で割り切れる。 n は 素数なので n = 3 となる。 逆に n = 3 とすると n = 3 で n2 + 2 = 11 となり これらは共に素数である。 故に n と n2 + 2 がともに素数になるのは n = 3 のときのみに限る。 |