３ p を 3 以上の素数とする。
4 個の整数 a, b, c, d が次の 3 条件
a + b + c + d = 0, ad - bc + p = 0, a ≥ b ≥ c ≥ d
を満たすとき、 a, b, c, d を p を用いて表せ。
a+b ≥ c+d で (a+b)+(c+d) = 0 なので a+b ≥ 0
また
p = bc - ad = bc + a(a+b+c+d) = (a+b)(a+c)
なので a+b > 0。当然 a+c > 0
b ≥ c より a+b ≥ a+c
p が素数で a+b, a+c が正の整数で a+b ≥ a+c で p = (a+b)(a+c) なので
a+b = p で a+c = 1
b = p-a, c = 1-a であり d = -(a+b+c) = a-1-p である。
a ≥ b = p-a より a ≥ p/2
1-a = c ≥ d = a-1-p より p/2 + 1 ≥ a
a が整数で p が奇数で p/2 ≤ a &le p/2 + 1 なので a = (p+1)/2 である。
残りも計算して
b = (p-1)/2, c = (1-p)/2, d = -(p+1)/2 である。
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