５　A を２次の正方行列とする。 列ベクトル0 に対し
　　　列ベクトル1, 2, 3 .... を
　　　　n+1 = An 　(n = 0, 1, 2, ....)
　　ある零ベクトルでない 0 について 3 以上の自然数 m で初めて
　　　m が 0 と一致するとき、行列 Am は単位行列であることを示せ。

n+1 = An 　(n = 0, 1, 2, ....)　より 0 = m = Am0 であり
1 = A0 = AAm0 = AmA0 = Am1 である。
第一列が 0 で第二列が 1 である行列を B とおくと
　B = AmB
なる関係式をえる。
B が逆行列をもつことを示そう。
A0 = 1 ≠ 0 なので 0 は零ベクトルではない。
次に 1 = t0 を満たす実数 t があると仮定しよう。このとき
A0 = t0 なので全ての自然数 n に対して An0 = tn0 が成り立つ。
t20 = 2 ≠ 0
tm0 = m = 0
で 0 は零ベクトルでないので
t2 ≠ 1 で tm = 1 である。
しかし、t は実数なので、これは不可能である。
0 は零ベクトルではなく、全ての実数に対して 1 ≠ t0
よって 第一列が 0 で第二列が 1 である行列 B は逆行列をもつ
B = AmB なので E = BB-1 = AmBB-1 = Am を得る。
(E は単位行列とする)
 ... 注意

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