(1) z = a + bi (ただし,a,b は実数で i は虚数単位とする) と表すと
z = a - bi であり
z の長さの平方は a2 + b2 である。
よって
zz =
a2 + b2 = |z|2 となる。
(|z| は z の長さをあらわす。)
従って z が単位円上にあるための必要十分条件は
zz = 1 すなわち
z = 1/z である。
(2) 一般に複素数 α, β に対して
α + β =
α +
β ,
α - β =
α -
β ,
αβ =
α
β ,
(α/β) =
α/
β
(ただし β ≠ 0) が成り立つ。
特に α,β が長さが 1 の複数のときには
α - β =
α -
β =
1/α - 1/β = (β - α)/(αβ) となる。
さらに γ,δ も長さが 1 の複素数のときには
(α - β)(γ - δ) =
((β-α)/(αβ)((δ - γ)/(γδ)
= (α - β)(γ - δ)/(αβγδ) となる。
以上より
z1, z2, z3, z4 が単位円上にあるとき
w =
((z1-z3)(z2-z4)/
(z1z3z2z4))/
((z1-z4)(z2-z3)/
(z1z4z2z3)) =
(z1-z3)(z2-z4)/
((z1-z4)(z2-z3)) = w となり
w が実数であることがわかる。
(3) z1, z2, z3 が単位円上にあり、、w は実数とする。α = z1, β = z2, γ = z3,
z = z4, v = z とおく。
w が実数なので w = w である。これより
(1/α-1/γ)(1/β-v)/((1/α-v)(1/β-1/γ) =
(α-γ)(β-z)/((α-z)(β-γ)) を得る。
つまり (1/α-1/γ)(1/β-v)(α-z)(β-γ)) =
(α-γ)(β-z)(1/α-v)(1/β-1/γ) を得る。
(α-γ)(β-γ) ≠ 0 なので両辺に
αβγ/((α-γ)(β-γ)) をかけて
(1-βv)(α-z) = (β-z)(1-αv) を得る。変形して
α - z - αβv + βvz = β - βαv - z + αvz
即ち (β-α)vz = β-α を得る。
β-α ≠ 0 なので vz = 1 をえる。つまり
z = v = 1/z をえる。
よって z4 は単位円上にある。
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