京大(99前文１) １　鋭角三角形 �僊BC において、辺 BC の中点を M, A から辺 BC にひいた垂線を AH とする。 点 P を線分 MH 上にとるとき、 　AB2 + AC2 ≥ 2AP2 + BP2 + CP2 となることを示せ。 ２　放物線 y = x2 上を動く 2 点 P,Q があって、 この放物線と線分 PQ が囲む部分の面積が常に 1 であるとき、 PQ の中点 R が描く図形の方程式を求めよ。 ３　0 以上の整数 x に対して、C(x) で x の下 2 桁を表すことにする。 たとえば、C(12578) = 78, C(6) = 6 である。 n を 2 でも 5 でも割り切れない正の整数とする。 (1)　x, y が 0 以上の整数のとき、C(nx) = C(ny) ならば C(x) = C(y) であることを示せ。 (2)　C(nx) = 1 となる 0 以上の整数 x が存在することを示せ。 ４　相異なる 4 つの複素数 z1, z2, z3, z4 に対して 　w = (z1-z3)(z2-z4)/ ((z1-z4)(z2-z3)) と置く。このとき、以下を証明せよ。 (1)　複素数 z が単位円上にあるための必要十分条件は z = 1/z 　　である。 (2)　z1, z2, z3, z4 が単位円上にあるとき、w は実数である。 (3)　z1, z2, z3 が単位円上にあり、、w は実数で あれば、z4 は単位円上にある。 ５　n, k は自然数で、 n ≥ 3, k ≥ 2 を満たすものとする。 いま n 角柱の n+2 個の面に 1 から n+2 までの番号がかいてあるものとする。 この n+2 個の面に 1 面ずつ、異なる k 色の中から 1 色ずつ選んで塗っていく。 このとき、どの隣り合う面の組も同一色ではぬられない塗り方数を Pk で 表す。 (1)　P2, P3 を求めよ。 (2)　n = 7 のとき、P4 を求めよ。 　１の解答 　２の解答 　３の解答 　４の解答 　５の解答 　　 (計算間違い等がありましたら知らせて下さい)