(1) Pn(xn,-xn2+3xn) である。
この点を通って傾きが -4 の直線の方程式は
y = -4(x-xn)-xn2+3xn つまり
y = -4x-xn2+7xn である。
この直線と x 軸の交点の x 座標が xn+1 である。
xn+1 = (-xn2+7xn)/4 である。
(2) まず n = 0,1,2,3,... のとき
0 < xn < 3 で xn < xn+1
であることを数学的帰納法で示す。
n = 0 のときは明らかに成立している。 k > 0 として n = k-1 のとき成り立っているとする。
2次関数 (-x2+7x)/4 は 0 ≤ x ≤ 3 の範囲では狭義単調増加である。 この関数を g(x) とおくと 0 < xk-1 < 3 より
0 = g(0) < g(xk-1) < g(3) = 3 を得る
つまり 0 < xk < 3 を得る。
0 < xk < 3 より Pk は x 軸より上にあり
Qk+1 の定義より、その x 座標は xk より大きくなる。
つまり xk < xk+1 であることがわかる。
以上より主張は n = k のときも正しいことがわかる。
数列 {xn} は有界で単調増加数列なのでその極限が存在する。 その極限を α とおくと
xn+1 = (-xn2+7xn)/4 より α = (-α2+7α)/4 を得る。
これを解いて α = 0 または α = 3 を得るが
数列 {xn} は単調増加な正の数からなる数列なので極限も正である。 よって α = 3 である。
n
∞ のときの xn の極限は 3 である。戻る