(1) 1 ≤ an ≤ 8/3 という主張を P(n) とおく。
全ての自然数 n にたいして
P(n) が成り立つことを n についての数学的帰納法で示す。
(i) a1 = 1 より P(1) は明らかに成立している。
(ii) k を自然数として P(k) が成立していると仮定する。
このとき
ak+1ak + 2ak+1 - 8 = 0 で ak + 2 > 0 より
ak+1 = 8/(ak + 2)
P(k) が成立しているので 1 ≤ ak ≤ 8/3
よって 3 ≤ ak+2 ≤ 14/3
ゆえに 24/14 ≤ 8/(ak + 2) ≤ 8/3
これより 1 ≤ 8/(ak + 2) ≤ 8/3 つまり 1 ≤ ak+1 ≤ 8/3
即ち P(k+1) が成り立つ。
(iii) 以上より全ての自然数 n に対して P(n) 即ち
1 ≤ an ≤ 8/3 が成り立つ。
an+1 = 8/(an + 2)
である(an + 2 ≠ 0)。
よって
an+1 - 2 = (4 - 2an)/(an + 2) = (-2/(an + 2))×(an - 2)
である。
(1) より 1 ≤ an なので
|-2/(an + 2)| = 2/(an + 2) ≤ 2/3 である
これより
|an+1 - 2| ≤ (2/3)× |an - 2|
よって
|an - 2| ≤ (2/3)n-1× |a1 - 2|
0 < 2/3 < 1 であるので、上の式より
n
∞ のときの an の極限が 2 であることがわかる。