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６. ３つの不等式 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π, 0 ≤ z ≤ sin(x+y) ≤ を同時に満たす点 (x,y,x) 全体からなる立体をを D とする。 このとき、次の各問いに答えなさい。 (1) x 軸に垂直な平面 x = t で切ったときの 切り口の面積 S(t) を求めなさい (2) 立体 D の体積を求めなさい |
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解答 (1) 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π より 0 ≤ x + y ≤ 2π である。 さらに 0 ≤ sin(x+y) であるので 0 ≤ x + y ≤ π である。 よって S(t) は sin(t+y) を y について 0 から π - t まで定積分したものである。 よって S(t) = 1 + cos t である。 (もちろん 0 ≤ t ≤ π としている。) (それ以外の t については S(t) = 0) |
(2) D の体積は S(t) を 0 から π まで定積分して得られる。 D の体積は π である。 |