2005年度採用試験(京都府高校)

３．　次の (1), (2) の不等式を解きなさい
(1)　log1/2x2 < log1/2(6-x)
(2)　ax2 - (a2 - a + 2)x + 2a - 2< 0

４．　an = (1 + 1/n)n とすると、自然対数(の底) e は, n ∞ のときの an の極限である。
このとき、 e < 2.75 を証明しなさい。
３．　(1)　x2 > 0　かつ 6-x > 0 かつ x2 > 6-x を解けばよい。
　　　x < -3, 2 < x < 6

(2)　ax2 - (a2 - a + 2)x + 2a - 2　= = (ax - 2)(x - a + 1) より
　(ax - 2)(x - a + 1) < 0 をとく。

a > 0 のとき
(x - 2/a)(x - a + 1) < 0 をとく
a > 2 のとき 2/a < x < a - 1
a = 2 のとき解なし
0 < a < 2 のとき a -1 < x < 2/a
 a = 0 のとき
x + 1 > 0 をとく
-1 < x 		a < 0 のとき (x - 2/a)(x - a + 1) > 0 をとく
-1 < a < 0 のとき
x < 2/a, a - 1 < x
a = -1 のとき
x < -2, -2 < x
a < -1 のとき
x < a-1, 2/a < x


４．　n ≥ 5 のとき
an = (1 + 1/n)n = 1 + nC1(1/n) + nC2(1/n)2 + nC3(1/n)3 + .... + nCn(1/n)n
　= 1 + 1 + (1-(1/n))/(2!) + (1-(1/n))(1-(2/n))/(3!) + .... + (1-(1/n))(1-(2/n))...(1-((n-1)/n))/(n!)
　< 1 + 1 + 1/(2!) + 1/(3!) + .... + 1/(n!)
　= 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + (1/24)(1 + 1/5 + 1/(5×6) + 1/(5×6×7) + ... + 1/(5×6×7×...×n) )
　≤ 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + (1/24)(1 + 1/5 + 1/(5×6) + 1/(6×7) + ... + 1((n-1)n))
　= 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + (1/24)(1 + 1/5 + 1/5 - 1/6 + 1/6 - 1/7 + ..... + 1/(n-1) - 1/n)
　= 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + (1/24)(7/5) = 2.5 + 27/120 < 2.73
従って e ≤ 2.73
よって e < 2.75
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