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３． １辺の長さが１の正四面体 OABC があり、辺 AB の中点を M とする。この四面体 OABC
に点 M から辺 OB, 辺 OC 上の１点をそれぞれ通り、頂点 A に至るまでの糸を巻きつけ、
その長さが最小となるようにする。このときの辺 OB 上の１点を P、辺 OC 上の１点を Q
とするとき、次の各問いに答えなさい。 (1) 糸の長さを求めなさい。 (2) OP, OQ の長さをそれぞれ求めなさい。 解答 大きい図は正四面体 OABC の側面の展開図 図の AM が求める長さである。 ∠ABM = 90°、AM = root(3), BM = 1/2 より AM = root(13)/2 OQ と A'M が平行で AO : AA' = 1 : 2 より よって OQ : A'M = 1 : 2 A'M = 1/2 より OQ = 1/4 OQ と MB が平行で OQ : MB = 1/4 : 1/2 = 1 : 2 よって OP : PB = 1 : 2 OB = 1 より OP = 1/3 |