(1)　α, ββ は方程式 x3 - x - 1 = 0 の三つの解なので 　α + β + β = 0, α β β = 1 が成り立っている。従って 　β + β = -α　で β β = 1/α　で ある。 (2)　PQ2 = (α - β) (α - β) = α2 - α(β + β) + β β = 2α2 + 1/α 　QR2 = (β - β ) (β - β) = - (β + β)2 + 4ββ = -α2 + 4/α である。 (3)　α　は方程式 x3 - x - 1 = 0 の解なので 　　α3 = α + 1 である。従って 　　α5 = α3 + α2 = α2 + α + 1 　　α4 = α2 + α これらより 　α5 - α4 = 1 故に 　1/α3 = α2 - α を得る。 (4)　α が実数で β と β が共役なので PQ = PR である。 よって (2) より 　　(PQ・PR・QR)2 = (2α2 + 1/α)2(-α2 + 4/α) 　　= (2α3 + 1)2(-α3 + 4)/α3 = (2α + 3)2(-α + 3)/α3 　　= (- 4α3 + 27α + 27)/α3 = 23α3/α3 = 23 　 戻る