(1)　 0 ≤ t のとき g(t) = ∫0t f(x)dx + ∫0f(t) f-1(x)dx - tf(t) と定めると 0 < t のとき g'(t) = f(t) - f(f-1(t))f'(t) (f(t) + tf'(t)) = 0 なので 0 ≤ t の範囲で g(t) は定数である。よって g(a) = g(0) = 0 である(f(0) = 0 なので)。 これより (1) が示せた。 (2)　 0 ≤ t のとき h(t) = ∫0t f(x)dx + ∫0b f-1(x)dx - tb と定める。このとき (1) より h(f-1(b)) = 0 である。 また 0 < t のとき h'(t) = f(t) - b である。0 < x で 0 < f'(x) なので 0 < t < f-1(b) では h'(t) < 0 で f-1(b) < t では 0 < h'(t) である。 よって、増減の表より 　　h(t) ≥ h(f-1(b)) = 0 を得る。等号は t = f-1(b) の時のみ成り立つ。つまり 　　　∫0a f(x)dx + ∫0b f-1(x)dx ≥ ab 　　が成立し、　また等号が成立するのは 　　 b = f(a) のときに限る。 (3) 略 戻る