Bretschneider の公式 ABCD において AB = a, BC = b, CD = c, DA = d として 四角形 ABCD の面積を S とするとき 　S2 = (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd (cos((A+C)/2))2 が成り立つ　ただしここで s = (a+b+c+d)/2 としている。

2S = ad sin A + bc sin C ....... �@　である。 余弦定理より 　BD2 = a2 + d2 - 2ad cos A　で 　BD2 = b2 + c2 - 2bc cos C　なので a2 + d2 - b2 - c2 = 2ad cos A - 2bc cos C　........ �A　である。 �@と�Aより 16S2 + (a2 + d2 - b2 - c2 )2 　　 = 4(ad sin A + bc sin C)2 + 4(ad cos A - bc cos C)2 　　 = 4(a2d2 + b2c2) - 8 abcd cos(A+C) 　　 = 4(a2d2 + b2c2) - 8 abcd (2 (cos((A+C)/2))2 - 1) 　　 = 4(ad + bc)2 - 16 abcd (cos((A+C)/2))2 ....... �B 4(ad + bc)2 - (a2 + d2 - b2 - c2 )2 　　 = (2ad + 2bc + a2 + d2 - b2 - c2 ) (2ad + 2bc - a2 - d2 + b2 + c2 ) 　　 = ((a+d)2 - (b-c)2) (-(a-d)2 + (b+c)2) 　　 = (a+d+b-c)(a+d-b+c)(a-d+b+c)(-a+d+b+c) 　　 = 16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) なので、求める結果を得る。 　 証明は　幾何学大辞典 岩田至康編 より きれいな証明ですが、なかなか気が付きませんね 戻る