考察 AB = BC で ∠ABC = 90°という 特別な場合を先ず考えてみよう。 座標をいれて B(0,0),A(0,1),C(1,0),P(p,q) とする。 G は�僊BC の重心で P は 黄色の部分にあるとする。 黄色の部分の境界上にあるときは易しいので内部にあるとする。 図のように KL が求める直線とする。 KL の方程式を ax+by = 1 とすると K(0,1/b), J(1/a,0) である。よって (1/a)×(1/b) = 1/2 つまり ab = 2 である。(面積の話より) ap + bq = 1 である。(KL が P を通るから) (ap)×(bq) = abpq = 2pq である。 ap,bq は二次方程式 x2 - x + 2pq = 0 の解である。 逆に α = (1-root(1-8pq))/2, β = (1+root(1-8pq))/2 とおくと α + β = 1 で αβ = 2pq である。 a = α/p, b = β/q とおくと ap + bq = 1 であり (1/a)×(1/b) = 1/2 が成り立つ。 0 < (1/a) < 1, 0 < (1/b) < 1 が成り立てば K(0,1/b), J(1/a,0) とおくと JK が求める直線である。 0 < 1-8pq や 0 < (1/a) < 1, 0 < (1/b) < 1 が成り立つことは このページの後半で示す。 1/a の作図は次に続く。 作図　 一つ戻る　 戻る

P(p,q) が黄色の領域の内部(境界は含まない)にあるので 0 < p, 1 < p + 2q, 2p + q < 1 が成り立つ。また p < 1/3 < q である。
2p + q < 1 より 8pq = (2p + q)² - (2p - q)² < (2p + q)² < 1 なので 0 < 1-8pq が成り立つ。
α = (1-root(1-8pq))/2 > 0, 0 < p なので a > 0 である。よって 0 < 1/a である。
2(α - p) = (1-root(1-8pq)) - 2p = (1-2p) - root(1-8pq) である。 1-2p > 0 であり
(1-2p)² - (1-8pq) = -4p + 4p² + 8pq = 4p(2q + p -1) > 0 である(0 < p, 1 < p + 2q より)。
従って α > p を得て 1/a < 1 を得る。
0 < q かつ 0 < β より 0 < 1/b である。
2(β - q) = (1 - 2q) + root(1-8pq) である。
1-8pq - (1 - 2q)² = 4q(1 - 2p - q) > 0 である (0 < q, 2p + q < 1 より)。
従って &beta > q を得て、1/b < 1 を得る。