名古屋大学前期(理1)

サイコロの出た目の数だけ数直線を正の方向に移動するゲームを考える。ただし、８をゴールとして丁度８の位置へ移動したときにゲームを終了し、８を超えた分についてはその数だけ戻る。たとえば７の位置で３が出た場合、８から２戻って６へ移動する。なお、サイコロは１から６までの目が等確率ででるものとする。原点から初めて、サイコロをｎ回投げ終えたときに８へ移動しゲームを終了する確率を p_n とおく。

(1)　p₂ を求めよ。
(2)　p₃ を求めよ。
(3)　4 以上のすべての n に対して p_n を求めよ。

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略解　　 m 回投げ終えたときに k へ移動している確率を q_m,k とおく (0 ≤ k ≤ 8)。

q_1,0 = 0, q_1,1 = 1/6, q_1,2 = 1/6, q_1,3 = 1/6, q_1,4 = 1/6, q_1,5 = 1/6, q_1,6 = 1/6, q_1,7 = 0, q_1,8 = 0　である

m ≥ 1 のとき
　　p_m+1 = (q_m,2+q_m,3+q_m,4+q_m,5 +q_m,6+q_m,7)/6
　　q_m,0+q_m,1+q_m,2+q_m,3+q_m,4+q_m,5+q_m,6+q_m,7 = 1 - (p₁+p₂+...+ p_m-1)　　　(p₁ = 0)
m ≥ 2 のとき 　　q_m,0 = q_m,1 = 0

(1)　　p₂ = 5/36
(2)　　m ≥ 2 のとき q_m = q_m,2+q_m,3+q_m,4+q_m,5 +q_m,6+q_m,7 とおくと
q_m = 1 - (p₁+p₂+...+ p_m-1)　で 　p_m+1 = q_m/6
　 従って p₃ = (1 - 5/36)/6 = 31/(6³)
(3)　m ≥ 4 のとき
　　 p_m = q_m-1/6 = (1 - (p₁+p₂+...+ p_m-1))/6 = (q_m-2-p_m-1)/6 = p_m-1-p_m-1/6 = p_m-1×(5/6)
p_m = 31×5^m-3/(6^m) である。

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