名古屋大学前期(理2)

a, b, c を実数とし、実数の組 (x,y,z) に関する方程式
　　　
(i)　　
x + y - 2z = 3a
2x - y - z = 3b
x - 5y + 4z = 3c
　および (ii)　x2 + y2 + z2 = 1
を考える。

(1)　方程式 (i) が解を持つための a, b,c の条件を求めよ。
　　　またそのときの方程式 (i) の解 (x,y,z) を求めよ。

(2)　方程式 (i) と (ii) が唯一つの共通解をもつとき、
　　　その共通解 (x,y,z) は方程式 2x2+2xy+2y2 = 1 を みたすことを示せ。
(1)　(i) を普通に解くと
　x + y - 2z = 3a と 2x - y - z = 3b より x - z = a + b つまり x = z + a + b
　x + y - 2z = 3a と x = z + a + b より a + b + y - z = 3a つまり y = z + 2a - b
x - 5y + 4z = 3c に x = z + a + b と y = z + 2a - b を代入して 6b - 9a = 3c つまり 3a - 2b + c = 0 を得る。
　このとき解は (x,y,z) = (t+a+b,t+2a-b,t)　(t は任意の数)　として与えられる。

(2)　方程式 (i) と (ii) が唯一つの共通解を持つためには t に関する方程式
　　　(iii)　　　(t+a+b)2 + (t+2a-b)2 + t2 = 1
が唯一つの解を持てばよい。
上の方程式は変形して
　　3t2 + 6at + 5a2-2ab+2b2 - 1 = 0
判別式/4 = 0 より
　　9a2 - 3(5a2-2ab+2b2 - 1) = 0
整頓して
　　2a2 - 2ab + 2b2 - 1 = 0
このときの (iii) の共通解は -a である。
よって (i) と (ii) の唯一つの共通解は (x,y,z) = (b,a-b,-a) となる。このとき
　　2x2+2xy+2y2 = 2b2 + 2b(a-b) + 2(a-b)2 2a2 - 2ab + 2b2 = 1 となる。

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