複素数平面において z を 1/z 移す変換を考える。 (0 は無限遠に移し、無限遠は 0 に移すと考える) 複素数 a を中心とし半径 r の円は方程式 (z - a)(z - a) = r2　つまり zz - az - az + aa - r2 = 0　で表される。 この方程式において z を 1/z にかえて zz をかけると 1 - az - az + (aa - r2) zz = 0　となる。 s = aa - r2 とおく。 始めの円が 0 を通らないときは s ≠ 0 である。 そのときは、新たに得られた方程式は (z - a/s)(z - a/s) = aa/(s2) - 1/s = (r/s)2　つまり これは中心が a/s で半径が r/s の円を表す。 (r/s が負のときは -r/s を半径と思って下さい。) 実数部分が 1 なる複素数のなす直線、つまり z + z = 2 で表される 直線は 中心が 1/2 で半径が 1/2 に移る。 実数部分が 2 なる複素数のなす直線、つまり z + z = 4 で表される 直線は 中心が 1/4 で半径が 1/4 に移る。 左の図において色が同じ二つの円は互いに この変換で互いに移りあっている。 C(a,r) で複素数 a を中心とし 半径 r の円を表すときに (r が負のときは半径が -r と思う) これが原点を通らないときは 上記の変換で C(a/s,r/s) に移る。 ここで s = aa - r2 とする。 C(a/s,r/s) を φ(C(a,r)) で表すことにする。 n を整数とし i を虚数単位とするとき φ(C(3/2+ni,1/2)) = C((3+2ni)/(2(2+n2)),1/(2(2+n2))) これは直径が 1/(2+n2) の円になっている。 空色の大きい円は C(3/2+i,1/2) であり 空色の小さい円は直径 1/3 の円である。 　 次に続く　　 1つ戻る メニューに戻る