解答
(1) (x2-ny2)(z2-nt2)
= (x-
y)(x+y)
(z-t)(z+t)
= (x-y)(z-t)
(x+y)(z+t)
= ((xz+nyt)-(xt+yz))((xz+nyt)+(xt+yz))
= ((xz+nyt)2-n(xt+yz)2) である。
(2) 12-2×12 = -1 であり
32-2×22 = 1 である。
x1 = 1、y1 = 1 とおき
xn+1 = 3xn + 4yn,
yn+1 = 2xn + 3yn (n = 1,2,3,...,) とおくと
(x1,y1),
(x2,y2),
(x3,y3), ... ,
(xn,yn), ... は全て x2-2y2 = -1 の自然数解
でありあい異なる。
(x1,y1) = (1,1)
(x2,y2) = (7,5)
(x3,y3) = (41,29)
(x4,y4) = (239,169)
なので求める解の一つは (239,169) である。
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