考察と解答
考察１
f(x), g(x), h(x) を整数係数の1次以上の多項式で最高次の係数が１で次を満たすものとする。
{ f(x) }3 - 2 = g(x)h(x)
g(x) の次数は h(x) に次数以下として良い。
α を g(α) = 0 を満たす複素数とすると
f(α) 3 - 2 = 0
である。
もし、g(x) が１次式とすると α は整数となり、f(α) も整数となるが、
それでは f(α) 3 - 2 = 0 となるのは不可能である。
よって g(x) は２次以上の多項式であり、h(x) もそうであるので、f(x) も２次以上の多項式である。
考察２
β を 2 の３乗根とする。つまり β は β3 = 2 となる実数とする。
上記の考察で α = β なる場合を考えてみよう。
f(β) = β を満たす２次以上の多項式の例を探してみると、f(x) = x3 + x - 2 はそうである。このとき
{ f(x) }3 - 2 = {(x3-2)+x}3-2
= (x3-2)3 + 3(3-2)3x
+ (x3-2)x2 + x3 - 2 =
(x3-2){(x3-2)++3x3-2)+4}
が成り立つ。よって f(x) が３次のときは例が見つかる。
次の考察で f(x) の次数が２のもので探してみよう。
考察３
β を 2 の３乗根とする。
f(x) = x2 + ax + b, α = cβ2 + dβ + e として
f(α) = β となることがあるか調べてみる。ここで a,b,c,d,e は整数とする。
f(α) = (cβ2 + dβ + e)2 +
(cβ2 + dβ + e) + b
= c2β4 + 2cdβ3
+ (d2+2ce+ac)β2 + (2de+ad)β + e2+ae+b
= (d2+2ce+ac)β2 + (2de+ad+2c2)β
+ e2+ae+b+4cd
であるので
d2+2ce+ac = 0
2de+ad+2c2 = 1
e2+ae+b+4cd = 0
を満たす a,b,c,d,e を探す例を探すことにする。
たちの悪い c,d,e を都合のよいように定めよう。
e = 0, c = 1, d = 1 とおくと a = -1 で b = -4 である。つまり f(x) = x2 - x -4
で α = β2 + β である。
α 3 = β3(β+1)3
= 2(β3 + 3β2 + 3β + 1) =
6(β2 + β + 1) = 6α + 6
α は方程式 x3 - 6x - 6 = 0 の解である。
考察２の部分は漕江君提供です。
解答に続く