1 (2)
(i)　k を自然数とするとき
　　f(x) = k となる条件は k² ≤ x < (k+1)² である。
　それを満たす自然数は
　　k², k²+1, k²+2, ..., (k+1)²-1
の 2k+1 個である。((k+1)² - (k²-1) = 2k+1)

(ii)　f(k²) + f(k²+1) + f(k²+2) + ... + f((k+1)²-1) = k(2k+1) である。

n > 1 のときは
　f(1) + f(2) + ... + f(n²-1) = 1×3 + 2×5 + ... + k(2k+1) + ... + (n-1)(2n-3)
　　= (n-1)n(2n-1)/3 + (n-1)n/2 = (n-1)n(4n+1)/6
よって
f(1) + f(2) + ... + f(n²) = (n-1)n(4n+1)/6 + n = n(4n²-3n+5)/6
この式は n=1 のときも成立している。

答えは n(4n²-3n+5)/6 である。

---

戻る

---