中線定理 �僊BC において M を BC の中点とする。 このとき 　AB2 + AC2 = 2(AM2 + BM2) が成り立つ。 (増加を押す) 証明１ A から BC に下ろした垂線の足を H とする。 図形の対称性より H は半直線 DC 上にあるとしてよい BH = BM + MH, CH = |CM - MH| = | BM - MH| である。 三平方の定理より AB2 = AH2 + BH2 AB2 = AH2 + CH2 AM2 = AH2 + MH2 である。 また BH = BM + MH, CH = | BM - MH| より BH2 + CH2 = 2(BM2 + MH2) である。 これより求める式を得る。 (増加を押す) 証明２ M を原点 BC が x 軸となるように座標を入れる。 A,B,C の座標を A(a,b), B(-c,0),C(c,0) とおく。(おける) AB2 + AC2 = ((a+c)2 + b2) + ((a-c)2 + b2) 　　 = 2(a2+c2+b2) = 2((a2+b2)+c2) = 2(AM2 + BM2) である。 (増加を押す) 証明３ θ = ∠AMB, η = ∠AMC とおくと η = 180°- θ なので cos η = - cos θ である。 余弦定理より AB2 = AM2 + BM2 - 2 AM×BM cos θ AC2 = AM2 + CM2 - 2 AM×CM cos η ここで BM = CM で cos η = - cos θより 求める式を得る。 証明４ v(PQ) で P を始点とし Q を終点とするベクトルを 表すことにする。 v(MC) = -v(MB) に注目すると AB2 = v(AB)・v(AB) = (v(MB)-v(MA))・(v(MB)-v(MA)) 　 = v(MB)・v(MB) - 2v(MB)・v(MA) + v(MA)・v(MA) AC2 = v(AC)・v(AC) = (v(MC)-v(MA))・(v(MC)-v(MA)) 　 = v(MC)・v(MC) - 2v(MC)・v(MA) + v(MA)・v(MA) 　 = v(MB)・v(MB) + 2v(MB)・v(MA) + v(MA)・v(MA) これより AB2 + AC2 = 2(v(MB)・v(MB) + v(MA)・v(MA)) 2(AM2 + BM2) を得る。 証明１と証明２の組み合わせは避けたほうが無難 戻る