大阪大学　後期４

π を円周率とする。次の積分について考える。
　I₀ = π ∫₀¹ sin πt dt
　I_n = (πⁿ⁺¹/n!) ∫₀¹ tⁿ(1-t)ⁿsin πt dt　 　　(n = 1, 2, ...)

(1)　n が自然数であるとき、不等式
　　1 + x/1! + x²/2! + ...... + xⁿ/n! < e^x 　　(x > 0)
が成立することを数学的帰納法により示せ。これを用いて、不等式
　　I₀ + uI₁ + u²I₂ + ..... + uⁿI_n < πe^uπ　 　(u > 0)
が成立することを示せ。

(2)　I₀, I₁ の値を求めよ。また、漸化式
　　I_n+1 = ((4n+2)/π)I_n - I_n-1　 　(n = 1,2,...)
が成立することを示せ。

(3)　π が無理数であることを背理法により証明しよう。π が無理数でないとし、
正の整数 p, q によって π = p/q として表されると仮定する。
A₀ = I₀, A_n = pⁿI_n とおくとき、 A₀, A₁, A₂, ... は正の整数になることを示せ。
さらに、これから矛盾を導け。

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代々木参照 　

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解答

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