証明

(1)　0 以上の整数 n に対して g_n(x) = e^x - (1 + x/1! + x²/2! + ...... + xⁿ/n!) と定めることにする。
0 以上の整数 n に対して x > 0 のとき g_n(x) > 0 が成り立つことを示せばよい。
　n = 0 のときは x > 0 のとき g₀(x) = e^x - 1 > 0 である。 (e > 1 より)
k を 1 以上の整数として x > 0 のとき g_k-1(x) > 0 が成り立つと仮定して
x > 0 のとき g_k(x) > 0 が成り立つことを示す。
g_k(0) であり x > 0 のとき g'_k(x) = g_k-1(x) > 0 なので
x > 0 のとき g_k(x) > 0 である。
よって、数学的帰納法により、すべての 0 以上の整数 n に対して x > 0 のとき g_n(x) > 0 である。
とくに n が自然数であるとき、不等式
　　1 + x/1! + x²/2! + ...... + xⁿ/n! < e^x 　　(x > 0)　　　　......(*1)
が成り立っている。

0 以上の整数 n に対して 　J_n = ∫₀¹ tⁿ(1-t)ⁿsin πt dt　 と定める。
このとき I_n = (πⁿ⁺¹/n!)J_n である。
0 < x < 1 のとき 0 < tⁿ(1-t)ⁿsin πt < 1 なので 0 < J_n < 1 である。　.... (*2)
u > 0 のとき、不等式 (*1) を x = uπ に適用し両辺に π を掛け算して、不等式
　　π + u×(π²/1!) + u²×(π³/2!) + ...... + uⁿ×(πⁿ⁺¹/n!) < πe^uπ
を得る。
　　(*2) より I_k = (π^k+1/k!)J_k < π^k+1/k! 　　(k = 0, 1, 2, ..., n)
なので、　不等式
　　I₀ + uI₁ + u²I₂ + ..... + uⁿI_n < πe^uπ　 　(u > 0)　　　.... (*3)
が成立することがわかる。

　　

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