証明の続き

(2)　(cos πt)' = -π sinπt より I₀ = π ∫₀¹ sin πt dt = 2 である。
(t(1-t)cos πt)' = - π t(1-t)sin πt + (1-2t)cos πt より π J1 = ∫₀¹ (1-2t)cos πt dt である。
((1-2t)sin πt)' = π (1-2t)cos πt - 2 sin πt より π ∫₀¹ (1-2t)cos πt dt = 2 ∫₀¹ sin πt dt = 4/π である。
よって I₁ = (π²/1!)J1 = 4/π である。
n が自然数のとき
(tⁿ⁺¹(1-t)ⁿ⁺¹cos πt)' = - π tⁿ⁺¹(1-t)ⁿ⁺¹sin πt + (n+1)(1-2t)tⁿ(1-t)ⁿcos πt より
π Jn+1 = (n+1)∫₀¹ (1-2t)tⁿ(1-t)ⁿcos πt である。
((1-2t)tⁿ(1-t)ⁿsin πt )' = π(1-2t)tⁿ(1-t)ⁿsin πt - 2tⁿ(1-t)ⁿsin πt + n(1-2t)²t^n-1(1-t)^n-1sin πt
　　　= π(1-2t)tⁿ(1-t)ⁿsin πt - 2tⁿ(1-t)ⁿsin πt + n(1-4t(1-t))t^n-1(1-t)^n-1sin πt
　　　= π(1-2t)tⁿ(1-t)ⁿsin πt - (4n+2)tⁿ(1-t)ⁿsin πt + nt^n-1(1-t)^n-1sin πt 　なので
　　π ∫₀¹ (1-2t)tⁿ(1-t)ⁿcos πt dt = (4n+2)J_n - nJ_n-1 　を得る。
よって
　I_n+1 = (πⁿ⁺²/(n+1)!)J_n+1
　　　= (πⁿ⁺¹/n!)∫₀¹ (1-2t)tⁿ(1-t)ⁿcos πt dt
　　　= (πⁿ/n!)((4n+2)J_n - nJ_n-1)
　　　= ((4n+1)/π)I_n - I_n-1
を得る。
　

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