証明の続き２

先ず　A₀, A₁, A₂, ... が整数であることを示そう。
A₀ = I₀ = 2, A₁ = pI₁ = p×(4/π) = p×4×(q/p) = 4q なので A₀, A₁ 共に整数である。 k を 1 以上の自然数として、A_k, A_k-1 共に整数と仮定すると A_k+1 が整数となることを示す。
(2) より I_k+1 = ((4k+2)/π)I_n - I_k-1 である。
従って
　　p^k+1I_k+1 = 　p^k+1((4k+2)/π)I_n - p^k+1I_k-1
なので
　　A_k+1 = q(4k+2)A_k - p²A_k-1
を得る。q(4k+2)A_k、 p²A_k-1　共に整数なので A_k+1 も整数になる。
よって、数学的帰納法により 　A₀, A₁, A₂, ... が整数である ことがわかる。
0 以上の整数 n に対して 0 < J_n で I_n = (πⁿ⁺¹/n!)J_n で A_n = pⁿI_n なので 0 < A_n である。
以上より 　A₀, A₁, A₂, ... が正の整数である ことがわかる。

πe^pπ は定数なので πe^pπ < n を満たす自然数 n が存在する。 その n に対して (*3) より
　　I₀ + pI₁ + p²I₂ + ..... + u^pI_n < πe^pπ　
が成り立つ。つまり
　　A₀ + A₁ + ... + A_n < πe^pπ　
が成り立つ。A₀, A₁, ... , A_n はすべて正の整数なので、おのおの 1 以上である。
よって
　　n + 1 ≤ A₀ + A₁ + ... + A_n
が成り立つ。以上より
　　n + 1 < πe^pπ
を得る。しかし、これは πe^pπ < n という n の取り方に矛盾する。

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