大阪大学前期(理２)

素数 p, q に対して
　　a_n = pⁿ - 4(-q)ⁿ　　　(n = 1,2,3,...)
によって整数 a_n を定める。ただし、 p > 2q とする。

(1)　a₁ と a₂ が 1 より大きい公約数 m をもつならば、m = 3 であることを示せ。

(2)　a_n がすべて 3 の倍数であるような p, q のうち積 pq が最小となるものを求めよ。

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ヒント

(1)　a₁ = p + 4q, a₂ = p² - 4q² である。
　　　12q² = (p² - 4q²) - (p + 4q)(p - 4q) = a₂ - a₁(p - 4q)
　m は奇数で q と互いに素

(2)　a₁ が 3 の倍数のとき p + q は 3 の倍数
逆に p + q が 3 の倍数のとき
n が偶数のとき 　a_n = pⁿ - 4qⁿ = pⁿ - qⁿ - 3qⁿ
pⁿ - qⁿ は p + q の倍数
n が奇数数のとき
　a_n = pⁿ + 4qⁿ = pⁿ + qⁿ + 3qⁿ
pⁿ + qⁿ は p + q の倍数
以上より、すべての a_n は 3 の倍数である。
よって a_n がすべて 3 の倍数であるという条件は p + q が 3 の倍数であるとい 条件と同じ。
　　

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