解答

放物線 C 上に異なる 2 点 P, Q をとり P における C の接線と Q における C の接線の交点を R とする。
いま RP = RQ とする。このとき C の軸が PQ の垂直二等分線であることを、先ず 示す。
軸を y 軸, 頂点を原点となるように、座標をいれると C の方程式は y = mx² の形をしている(m ≠ 0)。P, Q の x 座標を各々 p, q とすると
P(p, mp²), Q(q, mqx²) である( p ≠ q)。
RP の方程式は y = 2mpx - mp²
RQ の方程式は y = 2mqx - mq²
なので R の座標は ((p+q)/2, mpq) となる
RP = RQ より (mp² - mpq)² = (mq² - mpq)² を得るが
m ≠ 0, p - q ≠ 0 より p² = q² を得て、 再び p - q ≠ 0 より p + q = 0 即ち q = -p を得る。
これは C の軸が PQ の垂直二等分線であることを意味している。

　さて、もとの問題に戻ろう。i を 1 ≤ i ≤ n なる自然数とする。
OP_i-1 と OP_i とが放物線 C_i の接線で OP_i-1 = OP_i なので C_i の軸は P_i-1P_i の垂直二等分線であり当然 O を通っている。
長さを変えないで O が原点で C_i の軸が y 軸となるように座標を取り直せば
題意より P_i-1(-α, β), P_i(α, β) となる。 　ただし θ = π/n; とおいて α = cos θ, β =sin θ としている。
また C_i の方程式は y = ax² + b の形で表される。
OP_i は C_i の (α, β) における接線なので、 その方程式は y = 2aα(x - α) + β である。これが原点を通るので
　　β = 2aα² である。
(α, β) が C_i 上にあるので β = aα² + b。つまり
　　b = aα² である。
ax² + b - 2aα を 0 から α まで定積分すると aα³/3 を得る。
つまり OP_i-1, OP_i と C_i で囲まれる図形の面積 = 2aα³/3 = αβ/3 = (cos θsin θ)/3 = (sin 2θ)/6 = (sin 2π/n)/6 を得る。
残りの部分も同じなので S_n = n sin(2π/n)/6 となる。
S_n = n sin(2π/n)/6 = (π/3)×(sin(2π/n)/(2π/n)) なので = π/3 を得る。

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