大阪大学前期(理4)

実数 r, a に対し数列 {x_n} を
　　x₁ = a
　　x_n+1 = rx_n(1-x_n) 　　(n = 1,2, 3, ...)
で定める。

(1)　すべての n について x_n = a となる a をもとめよ。
(2)　x₂ ≠ a で x₃ = a となる a の個数を求めよ。
(3)　0 ≤ a ≤ 1 なるすべて a について 0 ≤ x_n ≤ 1 (n = 1,2, 3, ...) がなりたつような r の範囲をもとめよ。

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ヒント

(1)　a = ra(1-a) が成り立つ a を求めればよい。(a = 0 と r ≠ 0 のときは a = 1 - 1/r)
　　　(r = 0 または r = 1 のとき 0 のみ、それ以外では 0 と 1 - 1/r)
(2)　b = ra(1-a) とおくとき b ≠ a で a = rb(1-b) が成り立つ a の個数を求めればよい。
r = 0 のときは、そのような a は存在しない。
r ≠ 0 とする。
　b = ra(1-a) , a = rb(1-b) で b ≠ a とする。このとき
　b-a = r(b-a)(b+a-1) で b - a ≠ 0 より
　　　 1 = r(b+a-1) = r(ra(1-a)+a-1) = r(1-a)(ra-1) をえる。
逆に 1 = r(1-a)(ra-1) として b = ra(1-a) とおくと
　　r(b+a-1) = r(ra(1-a)+a-1) = r(1-a)(ra-1) = 1
　　b-a = r(b-a)(b+a-1) = -rb(1-b) + ra(1-a) = -rb(1-b) + b となり
　　a = rb(1-b) となる。
　　1 = r(1-a)(ra-1) で b = ra(1-a) としたとき b = a となったとする。
　　a = 0 のとき r = -1 であり 1 = r(1-a)(ra-1) を満たす a は 0 のみ
　　a ≠ 0 のとき 1 = r(1-a) である。ra = 2 をえて r = 3, a = 2/3 をえる。
　　r = 3 のとき 1 = r(1-a)(ra-1) ( = 3(1-a)(3a-1)) の解は 2/3 のみ
　以上より
　　r = -1, 0, 3 のときは求める個数は 0 であり
　　また r ≠ 0 かつ r ≠ 3 のとき、方程式 r(x-1)(rx-1) + 1 = 0 の解の個数がとめる個数である。
　　 r < -1 のとき 2 個
　　-1 ≤ 0 ≤ 3 のとき 0 個
　　3 < r のとき 2 個
(3)　f(x) = rx(1-x) とおくとき 0 ≤ x ≤1 のときいつも 0 ≤ f(x) ≤ 1 が成り立つ条件を 求めればよい。
　　0 ≤ r ≤ 4 である。

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