解答
g(x) = f(x-p) とおく。g(x) も n 次の整式である。
g(x) =
b0xn + b1xn-1
+ b2xn-2 + ... + bkxn-k
+ bn-1x + bn
とおくと、b0 = a0 である(両辺の最高次の係数を比べて)。
f(x) = g(x+p) =
b0(x+p)n + b1(x+p)n-1
+ b2(x+p)n-2 + ... + bk(x+p)n-k
+ bn-1(x+p) + bn
であるので
(x+p)f '(x) =
nb0(x+p)n + (n-1)b1(x+p)n-1
+ (n-2)b2(x+p)n-2 + ... + (n-k)bk(x+p)n-k
+ bn-1(x+p)
である。よって (x のところに x-p を代入して)
xf '(x-p) =
nb0xn + (n-1)b1xn-1
+ (n-2)b2xn-2 + ... + (n-k)bkxn-k
+ bn-1x
である。nf(x) = (x+p)f '(x) であるので nf(x-p) = xf '(x-p) である。
つまり ng(x) = xf '(x-p) である。両辺の係数を比較して
nb1 = (n-1)b1,
nb2 = (n-2)b2,
nb3 = (n-3)b3, ... ,
nbk = (n-k)bk, ... ,
nbn-1 = bn-1,
nbn = 0 である。
従って b1 = 0, b2 = 0, b3 = 0, ... ,
bk = 0, ... , bn-1 = 0, bn = 0 を得る。故に
g(x) =
b0xn = a0xn を得る。
よって (x のところに x+p を代入して)
f(x) = g(x+p) = a0(x+p)n を得る。
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