解答
(1),(2) とも、直線(曲線)は 直線 x = t (t = 1,2,...,630) と一回交わり、
y = s (s = 1,2,...,5400) とも一回交わる。よって
直線(曲線)上に 1 
x 630 の範囲で k 個
格子点があるときは
格子点は 2 回余分に数えているので
求める答えは 630 + 5400 - 2k である。
(1) 5400 = a × 630 なので 60 = 7a である。(u,v) が直線 y = ax 上の格子点
とするとき
v = au なので 7v = 60u である。u は 7 の倍数となり u = 7p の形をしている。
(u,v) = (7p,60p) の形をしている。
1 7p 630 の
ときは 1 p 90 である。
よって 1 x 630 の範囲での
直線 y = ax 上の格子点の個数は 90 である。
630 + 5400 - 180 = 5850 なので、求める答えは 5850 である。
(2) 5400 = b × 630n であるので
2 = b × 3 × 72 × 630n-2 である。
(u,v) が直線 y = bxn 上の格子点とするとき
v = bun より
3 × 72 × 630n-2 v = 2un である。
Case 1 (n = 2 のとき) 3 × 72 v = 2u2 である。
これより u = 21p の形で表される。
3 × 72 v = 2 × 3 × 7 × 3 × 7 × p2
なので v = 6p2 である。
(u,v) = (21p,6p2) の形をしている。
1 21p 630 の
ときは 1 p 30 である。
よって 1 x 630 の範囲での
直線 y = bx2 上の格子点の個数は 30 である。
630 + 5400 - 60 = 5970 なので、求める答えは 5970 である。
Case 2 (n = 3 のとき) 3 × 72 × 630 v = 2u3 である。
つまり (3 × 7)2 × 5v = u3 である。
これより u = 105p の形で表される。 v = 25p3 である。
(u,v) = (105p,25p3) の形をしている。
1 105p 630 の
ときは 1 p 6 である。
よって 1 x 630 の範囲での
直線 y = bxn 上の格子点の個数は 6 である。
630 + 5400 - 12 = 6018 なので、求める答えは 6018 である。
Case 3 (n 
3 のとき)
3 × 72 × 630n-2 v = 2un であるので
u は 2 × 5 × 7 × 9 の倍数である。
よって 1 x 630 の範囲での
直線 y = bxn 上の格子点の個数は 1 である。
630 + 5400 - 2 = 6028 なので、求める答えは 6028 である。
戻る
メニュに戻る