6 の解答
(i) を認めての (ii) の証明
(i) より a または b のどれかは 0 でない。
A = { ax+by | x と y は整数} とおく。
a = a×1+b×0, -a = a×(-1)+b×0,b = a×0+b×1, -b = a×0+b×(-1) なので
A には a,-a,b,-b が入っていて、少なくともこのうちの一つは正の整数即ち自然数である。
A には自然数が含まれている。A に含まれる自然数のうち最小のものを d とおく。
d は A に含まれているので、d = ax0 + by0 をみたす二つの整数
x0, y0 が存在する。
d = 1 を示せば (ii) が示せたことになる。
d = 1 を示そう。
a を d で割った商を q, 余りを r とする。このとき
q, r は整数で a = dq + r で 0 ≤ r < d である。
r = a - dq = a(1-x0q) + b(-y0q) で
1-x0q, -y0q はともに整数なので
r は A に含まれる。
r は 0 ≤ r < d なる整数なので d の取り方より r = 0 である。
つまり a は d で割り切れることになる。即ち d は a の約数である。
同様の議論をして d が b の約数であることもわかる。
d が a と b の共通の約数で d > 0 なので d = 1 である。(a と b は互いに素なので)
以上より (ii) が示された。
(ii) を認めての (i) の証明
x0, y0 が整数で ax0 + by0 = 1
を満たすとする。
d を a と b の最大公約数とする。このとき a は d の倍数で b も d の倍数である。
x0, y0 が整数なので ax0 + by0 は d
の倍数になる。
つまり 1 が d の倍数になる。d > 0 なので、これより d = 1 を得る。
これは a と b が互いに素であることを意味している。
以上より (i) が示された。
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