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1 次の (1), (2) の問いに答えよ。 (1) 点 A(2,0) から曲線 C: y = e-x にひいた接線を L とする。 (a) L の方程式を求めよ。 (b) L 、C および y 軸で囲まれる部分の面積を求めよ。 (2) 1 から n までの自然数がある。 これらの自然数のうち異なる２つの数の積をすべて合計するといくらに なるか。 n を用いて表せ。ただし、 n は 2 以上の 自然数とする。 2 次の問題について、生徒に多様な解法を提示したい。 「A(4,0), B(6,-4), C(-3,-1) とするとき 僊BC の 外接円の中心 P の座標を求めよ」 の問題を二通りの方法で解け。 ただし、そのうちの一通りはベクトルを用いる方法とする 。 3 z1, z2 を |z1| = |z2| = | z1 + z2| = 1 をみたす複素数とするとき、 z13 = z23 を示せ。 4 一つのサイコロを何回か繰り返しなげて、同じ目が２回 続けてでるかどうかにについて考える。 n を 2 以上の自然数として、次の (1), (2) の問いに答えよ。 (1) 一つのサイコロを n 回繰り返し投げるとき、二つの 事象 A, B を次のように定める。 A : 同じ目が２回続けてでることが一度だけあり、 ３回以上続けることは一度もない。 B : 同じ目が２回以上続けることは一度もない。 このとき、事象 A の起こる確率 Pn(A) が 事象 B の起こる確率 Pn(B) よりも大きくなるような n の値のうち、最小のものを 求めよ。 (2) 一つのサイコロを n 回繰り返し投げるとき、初めて同じ目が２回 続けてでるまでにサイコロを投げた回数を Xn で表す。ただし、一つのサイコロを n かい繰り返し投げて、 同じ目が２回以上つ続けて出ることが一度もないときは、 Xn = n+1 と定める。 (a) 確率変数 Xn の確率分布を求めよ。 (b) Xn の期待値を an とするとき、 an を n で表し、limn → ∞ an を求めよ。 5 僊BC は AB = AC = 1,∠BAC = 2θ の二等辺三角形である。 僊BC の内接円の半径を r として、次の (1), (2) の問いに答えよ。 ただし、0 < θ < π/2 とする。 (1) r を θ で表せ。 (2) r が最大になるときの θ の値を α とするとき sin α の値を求めよ。 6 a, b を整数とするとき次の条件 (i), (ii) が同値であることを示せ。 (i) a, b は互いに素である。 (ii) ax0 + by0 = 1 をみたす二つの整数 x0, y0 が存在する。 |