証明 (a, b, c) を原始的ピタゴラス数として a は奇数、 b は偶数とする。 xy 平面に点 A(-1,0) をとる。 単位円周上に点 B(a/c,b/c) をとり AB と y 軸との交点を D とおく D の y 座標は ((b/c)/(1+(a/c))) つまり b/(c+a) である。 b/(c+a) を既約分数で n/m で表すことにする。 　(増加を押す) ピタゴラス数 (m2-n2, 2mn, m2+n2) に対して 同様に B'((m2-n2)/(m2+n2),2mn/(m2+n2)) を考え AB' と y 軸との交点の y 座標を計算すると、同じく n/m となる。 これは B = B' を意味している。つまり (m2-n2)/(m2+n2) = a/c, 2mn/(m2+n2) = b/c を得る。 c と a が互いに素なので自然数 d で m2-n2 = da m2+n2 = dc 2mn = db を満たすものが存在する。 2m2 = d(a+c), 2n2 = d(c-a) で m と n が互いに素なので d = 1 または 2 である。 m2-n2 を 4 で割ったあまりは 0,1,3 のいづれかであり a は奇数なので 2a を 4 で割った余りは 2 である。 よって d ≠ 2 つまり d = 1 を得る。 　戻る