i 虚数単位とする。 m, n, a, b, c を実数として (m + ni)2 = a + bi として |(m + ni)2| = c とする。 このとき a = m2 - n2, b = 2mn, c = m2 + n2 である。 よって c + b = (m+n)2 である。 つまり α = m + ni とするとき |α2| + Im α2 = (m+n)2 である。 更に、p, q, a', b', c' を実数として α' = m - ni, β = p + qi, β' = p - qi とおいて β2 = a' + b'i, |β2| = c' とおくと α'2 = a - bi, |α'2| = c で β'2 = a' - b'i, |β2| = c' である。 |(αβ)2| + Im (αβ)2, |(α'β)2| + Im (α'β)2, |(αβ')2| + Im (αβ')2, |(α'β')2| + Im (α'β')2 の計算より各々 　cc' + ab' + a'b = (mp-nq+mq+np)2 　cc' + ab' - a'b = (mp+nq+mq-np)2 　cc' - ab' + a'b = (mp+nq-mq+np)2 　cc' - ab' - a'b = (mp-nq-mq-np)2 を得る。 　一つ戻る