AB = a, AC = b, BC = c とする。 c ≥ a かつ c ≥ b として良い。 D を A から BC へ下ろした垂線の足とする。 AD = d, BD = e, CD = f とおく。c = e + f である。 16s(s-a)(s-b)(s-c) 　= 2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c) 　= (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) 　= -((c+b)2-a2)((c-b)2-a2) 　= -((c2+b2-a2)+2bc) ((c2+b2-a2)-2bc) 　= (4b2c2- (c2+b2-a2)2) である。 ここで c2+b2-a2 　= c2+(d2+f2)- (d2+e2) 　= c2+f2-e2 　= c2+(f+e)(f-e) 　= c(f+e)+c(f-e) = 2cf に注目して、前の計算を続けよう。 16s(s-a)(s-b)(s-c) 　= 4(b2c2-c2f2) 　= 4c2d2 　= 16(cd/2)2 = 16S2 を得る。 これより求める式 　S2 = s(s-a)(s-b)(s-c) を得る。 戻る