(a, b, c) を原始的ピタゴラス数とする。
(1) が示されれば (2) が成り立つことは自明である。
a と b は互いに素なので双方とも偶数ではありえない。
奇数の平方は 4 で割ると 1 あまり
偶数の平方は 4 で割り切れる。(*1)
よって a, b 共に奇数とすると
a2 + b2 は 4 で割ると 2 あまる。
c2 = a2 + b2 なので
c2 は 4 で割ると 2 あまることになる。
これは c が奇数でも偶数でも不可能である。

以上より (1) も示されたことになる。

戻る  

(*1) x を奇数とすると
x = 2n + 1 となる整数 n が存在する。
x2 = 4n(n+1) + 1 なので
x2 は 4 で割ると 1 あまる。
(n(n+1)/2 は整数なので
 実は x2 は 8 で割ると 1 あまる。)
x を偶数とすると
x = 2n となる整数 n が存在する。
x2 = 42 なので
x2 は 4 で割り切れる。