D が ⊿ABC の辺 BC 上の点で ⊿ABD の内接円と ⊿ADC の内接円の 大きさが同じであるとする a = BC, b = CA, c = AB, f = AD　 とおくと 4f2 = (b+c)2 - a2 適当に拡大・縮小して 二つの内接円の半径は 1 としてよい。 ⊿ABD と ⊿ADC の各々の内心を I, J とおく。 辺 BC と各々の内接円との接点を E, F とする。 x = BE, y = ED, z = DF, w = FC とおき A から BC までの距離を t とおき m = t/(t-2) とおく。 補題より次を得る。 ①　xy = m, zw = m ②　f = x(y2+1)/(m-1) ③　b = z(w2+1)/(m-1), c = y(x2+1)/(m-1) さらに、∠IDE + ∠JDF = 90°なので yz = (1/tan ∠IDE)(1/tan ∠JDF) = 1 である。 これを使って ①、②、③ を書き直して次を得る。 ④　x = m/y, z = 1/y, w = my ⑤　f = (my+m/y)/(m-1) = m(y2+1)/(y(m-1)) ⑥　b = (m2y+1/y)/(m-1) = (m2y2 + 1)/(y(m-1)) 　　c = (m2/y+y)/(m-1) = (m2+y2)/(y(m-1)) であり 　b+c = (m2+1)(y2+1)/(y(m-1)) ⑦　a = x+y+z+w = m/y + y + 1/y + my =(m+1)(y2+1)/y ⑧　b+c-a = 2(y2+1)/(y(m-1)) 　　b+c+a = 2m2(y2+1)/(y(m-1)) よって ⑤、⑧ より (b+c-a)(b+c+a) = 4f2 を得る。 戻る　　 一つ戻る