複素数平面で考えて A(a+bi),B(c+di),C(e+fi),O(0), D((a-e)+(b-f)i), E((c-e)+(d-f)i) とおくと �儖DE は �僂AB を平行移動したものである。 x = a+bi, y = x+di, z = e+fi とし u = x-z = (a-e)+(b-f)i, v = y-z = (c-e)+(d-f)i とするとき (x-z)(y-z) 　=　 xy - xz - zy + zz 　=　 xy + yz + zx - xz - zx - yz - zy + zz であり xz - zx - yz - zy + zz は実数なので Im((x-z)(y-z)) = Im( xy + yz + zx) である。 いま x と z が等しくないとき r を (x-z)(x-z) = r2 なる正の数とする。 (x-z)(x-z)/r = r であり (y-z)(x-z)/r = g+hi とおくと (ただし g, h は実数とする。)このとき rh = Im( xy + yz + zx) である。 このときは �僊BC が正(�儖DE が正)　であるための条件は 　　h が正である。 �僊BC が負(�儖DE が負)　であるための条件は 　　h が負である。 �僊BC が 0 (�儖DE が0)　であるための条件は 　　h が 0 である。つまり(ABC は一直線上にある) x = z のときは �僊BC = = Im( xy + yz + zx) = Im((x-z)(y-z)) = 0 であり ABC は一直線上にある 一つ戻る