３つの正三角形

図において
OAD, OBE, OCF は
反時計回りに正三角形をなしている。
G, H, I は DB, EC, FA の
各々の中点とする。このとき
(GHI が一点に固まらないときは)
GHI が正三角形をなすことを示せ。

座標をいれて複素数平面で考える。

A, B, C, D, E, F, G, H, I に対応する複素数を
各々 a, b, c, d, e, f, α, β, γ とおくと

①　d = -ω²a, e = -ω²b, f = -ω²c

②　α = (d+b)/2, β = (e+c)/2, γ = (f+a)/2

である。ω³ = 1 に注意すると

α + βω + γ ω² = 0

であることは容易に示される

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