相加相乗平均の定理(拡大) 次は相加相乗平均の定理と呼ばれる。 a, b を正の実数とするとき 　a2 + b2 ≥ 2ab が成り立つ。 　等号は a = b のときのみ成立する。 証明は極めて簡単で 　　a2 + b2 - 2ab = (a-b)2 ≥ 0 なる式変形より出てくる。 上とよく似た不等式が 成り立つか否かを考えよう。 問題１　a, b を正の実数とし m, n を n ≥ 2, n > m > 0 なる自然数とする。このとき 次の不等式はいつも成立するか？ (1)　a3 + b3 ≥ ab(a+b) (2)　a4 + b4 ≥ ab(a2 + b2) (3)　an + bn ≥ ab(an-2 + bn-2) (4)　an + bn ≥ an-mbm + ambn-m 　　　　　　　　　　　　　　　　(解答は下段にて) 次に続く

(4) が示されれば (1),(2),(3) すべてが示されることになるが、あえて (1), (2), (3),(4) と示していくことにする。

(1)　a³ + b³ - ab(a+b) = (a-b)(a² - b²) = (a-b)²(a+b) 　　これより明らか。(最後の因数分解は実は不要)
(2)　a⁴ + b⁴ - ab(a² + b²) = (a-b)(a³ - b³) = (a-b)²(a²+ab+b²) 　　これより明らか。(最後の因数分解は実は不要)
(3)　aⁿ + bⁿ - ab(a^n-2 + b^n-2) = (a-b)(a^n-1 - b^n-1) 　　これより明らか。
(4)　aⁿ + bⁿ - (a^n-mb^m + a^mb^n-m) = (a^n-m-b^n-m)(a^m-b^m) 　　これより明らか。
(1),(2),(3),(4) いづれも成立して, 等号は a = b のときのみ成立する。