相加相乗平均の定理(拡大) 次も相加相乗平均の定理と呼ばれる。 a, b, c を正の実数とするとき 　a3 + b3 + c3 ≥ 3abc が成り立つ。 　等号は a = b = c のときのみ成立する。 証明は次のようにおこなわれるのが普通である a3 + b3 + c3 - 3abc 　= (a+b+c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) 2(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) 　= (a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 この二つより定理が示される。 この定理の拡張として、 次が考えられる。 問題２　a, b, c を正の実数とし k, n を n ≥ 3, n > 3k > 0 なる自然数とする。このとき 次の不等式はいつも成立するか？ (1)　a4 + b4 + c4 ≥ abc(a+b+c) (2)　a5 + b5 + c5 ≥ abc(a2 + b2+ c2) (3)　an + bn + cn ≥ abc(an-3 + bn-3 + cn-3) (4)　an + bn + cn ≥ akbkck (an-3k + bn-3k + cn-3k) 　　　　　　　　　　　　　　　　(解答は下段にて) 次に続く 戻る

(4) が示されれば (1),(2),(3) すべてが示されることになるが、 あえて 定理、(1), (2), (3),(4) と示していくことにする。

定理の証明(問題１を使う)
a³ + b³ ≥ a²b + ab²
b³ + c³ ≥ b²c + bc²
c³ + a³ ≥ c²a + ca²　であり
a²b + bc² ≥ 2abc
b²c + ca² ≥ 2abc
c²a + ab² ≥ 2abc　より
定理の不等式を得る。各々の等号成立条件より 等号が成立するのは a = b = c の 時のみである。

(1)　の証明
a⁴ + b⁴ ≥ 2a²b²
b⁴ + c⁴ ≥ 2b²c²
c⁴ + a⁴ ≥ 2c²a²　であり
a²b² + b²c² ≥ 2ab²c
b²c² + c²a² ≥ 2abc²
c²a² + a²b² ≥ 2a²bc　より
(1)の不等式を得る。各々の等号成立条件より 等号が成立するのは a = b = c の 時のみである。

(2)　の証明
a⁵ + b⁵ ≥ a³b² + a²b³
b⁵ + c⁵ ≥ b³c² + b²c³
c⁵ + a⁵ ≥ c³a² + c²a³　であり
a³b² + c²a³ ≥ 2a³bc
b³c² + a²b³ ≥ 2ab³c
c³a² + b²c³ ≥ 2abc³　より
(2)の不等式を得る。各々の等号成立条件より 等号が成立するのは a = b = c の 時のみである。

(3), (4) を示そうと思ったが、簡単なので、読者にまかせよう。