九点円の定理 H を三角形 ABC の垂心とし O をその外心とする。 H1 を A から BC に引いた垂線の足 H2 を B から CA に引いた垂線の足 H3 を C から AB に引いた垂線の足とし M1, M2, M3 を各々 BC, CA, AB の中点 K1, K2, K3 を各々 HA, HB, HC の中点 とする。 H1,H2,H3, M1, M2, M3, K1, K2, K3 の九点が O　と H の中点を中心として 半径が �僊BC の外接円の半径の 1/2 の円周上にある。 というのが九点円の定理である。 証明 �僊BC の外接円が単位円となるように座標をいれて考える。 A,B,C,H, H1,H2,H3, M1, M2, M3, K1, K2, K3 に対応する複素数を各々 a,b,c,h, h1,h2,h3, m1, m2, m3, k1, k2, 3 とおく。 O は 0 に対応し、O と H の中点は h/2 に対応する。 h' = h/2 とおくと h' = (a+b+c)/2 である。 a', b', c' を前の話と同じようにおくと h1-h' = a'/2, h2-h' = b'/2, h3-h' = c'/2 m1-h' = -a/2, m2-h' = -b/2, m3-h' = -c/2 k1-h' = a/2, k2-h' = b/2, k3-h' = c/2 であり a', b', c', -a, -b, -c, a', b', c' は皆長さが 1 なので これは定理が成り立っていることを意味している。 戻る