発展問題 (2)　γnβ1-n + αnγ1-n + βnα1-n ≥ α + β + γ が n が正のとき成り立つときを n に関する数学的帰納法で示そう。 (n が正のときなりたてば α, β, γ の役割を入れ換えて n が負のときも成り立つことがわかる。) n = 1 のときは明らかに成り立つ。 k ≥ 1 として 1 ≤ n ≤ k のとき成り立つと仮定して n = k+1 のときも成り立つ ことを示す。 Case 1　k が奇数のとき k = 2m-1 となる自然数 m が存在する。 1 ≤ m ≤ k であるので、帰納法の仮定より 　γmβ1-m + αmγ1-m + βmα1-m ≥ α + β + γ が成り立っている。n = k+1 = 2m, (1-n)+1 = 1-k = 2(1-m) に注目して、シュワルツを使って 　(γnβ1-n + αnγ1-n + βnα1-n)(β + γ + α) ≥ (γmβ1-m + αmγ1-m + βmα1-m)2 従って、帰納法の仮定と合わせて 　(γnβ1-n + αnγ1-n + βnα1-n)(β + γ + α) ≥ (α + β + γ)2 を得る。これより、このときは求める結果を得る。 Case 1　k が偶数のとき k = 2m となる自然数 m が存在する。 1 ≤ m+1 ≤ k であるので、帰納法の仮定より 　γm+1βm + αm+1γm + βm+1αm ≥ α + β + γ が成り立っている。n+1 = k+2 = 2(m+1), 1-n = -k = 2(-m) に注目して、シュワルツを使って 　(γnβ1-n + αnγ1-n + βnα1-n)(γ + α + β) ≥ (γm+1βm + αm+1γ-m + βm+1α-m)2 従って、帰納法の仮定と合わせて 　(γnβ1-n + αnγ1-n + βnα1-n)(β + γ + α) ≥ (α + β + γ)2 を得る。これより、このときも求める結果を得る。 以上より証明が完了した。 一つ戻る　　 戻る