初等幾何学

発展問題

a,b,c を三角形の三辺とし a + b + c = 1 とする。
p,q,r を自然数として p = q + r + 1 とするとき

　　a^p/((a+b-c)^q(a-b+c)^r) + b^p/((b+c-a)^q(b-c+a)^r) + c^p/((c+a-b)^q(c-a+b)^r)

の取りうる最小値をもとめよ。

この問題の解答は 1 である。
実際正三角形のときの値は 1 であるので
いつも値は 1 以上であることを示す。
元の問題と同じように α, β, γ をおくとき

(β + γ)^p/(γ^qβ^r) + (γ + α)^p/(α^qγ^r) + (α + β)^p/(β^qα^r) ≥ 2^p(α + β + γ)

が成り立つことを示せばよい。上の式の左辺を S とおくことにする。

　S_k = γ^k-qβ^p-k-r + α^k-qγ^p-k-r + β^k-qα^p-k-r　　　(k=0,1,2,...,p)
　とおくと

　S = S₀ + _pC₁S₁ + _pC₂S₂ + ... + _pC_p-1S_p-1 + S_p
　である。

(1)　S_k ≥ α + β + γ　　　(k=0,1,2,...,p)

が成り立つことが示せたら。各 _pC_k は正で

　1 + _pC₁ + _pC₂ + ... + _pC_p-1 + 1 = (1 + 1)^p = 2^p

であるので、求める式 S ≥ 2^p(α + β + γ) が示せることになる。

(k-q)+(p-k-r) = p-q-r = 1 なので (1) を示すには、次の (2) を示せば良い。

(2)　全ての整数 n に対して
　　　γⁿβ^1-n + αⁿγ^1-n + βⁿα^1-n ≥ α + β + γ

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