解答　v(XY) で X を始点として Y を終点とするベクトルを 表すことにする。 　　p = m/(m+n), q = n/(m+n), v(a) = v(BA), v(c) = v(BC) とおくと v(BF) = qv(a), v(BD) = pv(c), v(BE) = pv(a) + qv(c) なので 　　v(ED) = -pv(a) + (p-q)v(c), v(EF) = (q-p)v(a) - qv(c) である。 (1)　v(ED) と v(EF) が直交する条件は v(ED)・v(EF) = 0 であるが 　v(a)・v(a) = 1, v(a)・v(c) = 0, v(c)・v(a) = 0, v(c)・v(c) = 3 より 　 その条件は -p(q-p) - 3q(p-q) = 0 　つまり p = q 又は p = 3q である。 　答えは m : n = 1 : 1 または m : n = 3 : 1 (2)　m, n が正の整数で v(FE) と v(AD) が直交しているとする。 m と n は互いに素としてよい。 v(FE) と v(AD) が直交する条件を求める。 v(AD) = pv(c) - v(a) であるので、その条件は 　　-(q-p) - 3pq = 0 である。 両辺に -(m+n)2 をかけると その条件は　(n-m)(m+n) + 3mn = 0 である。 n2 = m(m-3n) で m2 = n(n+3m) であるので m の素因子は n の素因子であり、 逆に n の素因子は m の素因子である。 よって m = n = 1 となるが　(n-m)(m+n) + 3mn = 0 戻る