2004年度採用試験(和歌山中学)

１． 次の、[問１]〜[問３]に答えなさい。
[問1] 　a1 = 1/2, an+1 = 1/(2-an)　　(n ≥ 1) 　　　で定められる数列 {an} について、次の (1)、(2) に答えよ。
　(1)　a2, a3, a4 をもとめ、一般項を類推せよ。
　(2)　数学的帰納法を用いて、(1) の類推が正しいことを証明せよ。

[問2] 　n を自然数とする。2n が 32 桁のすうとなるとき、n の値を求めよ。 ただし、log102 = 0.3010 とする。

[問3] 　不等式 ax - a2 < x - 1 をとけ。 ただし a は定数とする。
解答
[問1] 　(1)
a2 = 1/(2-1/2) = 2/3
a3 = 1/(2-2/3) = 3/4
a4 = 1/(2-3/4) = 4/5
である。 		従って
　an = n/(n+1)
と類推される。
 (2)　　 an = n/(n+1)
　であることを数学的帰納法で示す。
n = 1 のとき
a1 = 1/2 = 1/(1+1)
なので、このときは成立する。
 k を自然数として
n = k のとき主張が成立すると仮定する。
ak = k/(k+1)
である。このとき 		ak+1 = 1/(2-ak)
　　　 = 1/(2-k/(k+1)) = (k+1)/(k+2)
なので主張は n = k+1 のときも成立する。
よって、数学的帰納法により
an = n/(n+1) が示された。

[問2] 　 31 ≤ log102n < 32
を満たす自然数 n を求める。
 31 ≤ 0.3010n < 32 を解いて
102.9 < n < 107
 n = 103, 104, 105, 106
が求めるものである。

[問3] 　 ax - a2 < x - 1
を変形して
(a - 1)x < (a - 1)(a + 1)< 0 		a > 1 のとき

　x < a + 1 		a = 1 のとき

　解なし 		a < 1 のとき

　x > a + 1

基本的な考え方を身に着けているかを問う問題
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